                                志二十一  时宪二

        △推步算术

        推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圆形。今撮其大旨，证立法
    之原，验用数之实，都为一十六术，著于篇。

        平三角形者，三直线相遇而成。其线为边，两线所夹空处为角。有正角，当全
    圆四分之一，如甲乙丙形之甲角。有锐角，不足四分之一，如乙、丙两角。有钝角，
    过四分之一，如丁戊己形之戊角。图形尚无资料

        角之度无论多寡，皆有其相当之八线。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度与
    九十度相减馀度之四线也，如甲乙为本度，则丙乙为馀度。正弦乙戊，正矢甲戊，
    正割庚丁，正切庚甲，馀弦乙己，馀矢丙己，馀割辛丁，馀切辛丙。若壬癸为本度，
    则丑癸为馀度，正弦癸辰，正矢壬辰，馀弦癸卯，馀矢丑卯，馀割子寅，馀切丑寅。
    以壬癸过九十度无正割、正切，借癸午之子未为正割，午未为正切。若正九十度丑
    壬为本度，则无馀度，丑子半径为正弦，壬子半径为正矢，亦无正割、正切，并无
    馀弦、馀矢、馀割、馀切。

        古定全圆周为三百六十度，四分之一称一象限，为九十度。每度六十分，每分
    六十秒，每秒六十微。圆半径为十万，后改千万。逐度逐分求其八线，备列于表。
    推算三角，在九十度内，欲用某度某线，就表取之，算得某线。欲知某度，就表对
    之。过九十度者，欲用正弦、正割、正切及四馀，以其度与半周相减馀，就表取之。
    欲用正矢，取馀弦加半径为之。既得某线，欲知某度，就表对得其度与半周相减馀
    命之。

        图形尚无资料

        算平三角凡五术：

        一曰对边求对角，以所知边为一率，对角正弦为二率，所知又一边为三率，二
    三相乘，一率除之，求得四率，为所不知之对角正弦。如图甲乙为所知边，丁角为
    所知对角，乙丁为所知又一边，甲角为所不知对角也。此其理系两次比例省为一次。
    如图乙丁为半径之比，乙丙为丁角正弦之比。法当先以半径为一率，丁角正弦为二
    率，乙丁为三率，求得四率中垂线乙丙。既得乙丙，甲乙为半径之比，乙丙又为甲
    角正弦之比。乃以甲乙为一率，乙丙为二率，半径为三率，求得四率，自为甲角正
    弦。然后合而算之，以先之一率半径与后之一率甲乙相乘为共一率，先之二率丁角
    正弦与后之二率乙丙相乘为共二率，先之三率乙丁与后之三率半径相乘为共三率，
    求得四率，自为先之四率乙丙与后之四率甲角正弦相乘数，仍当以乙丙除之，乃得
    甲角正弦。后既当除，不如先之勿乘。共二率内之乙丙与三率相乘者也，乘除相报，
    乙丙宜省。又共三率内之半径与二率相乘者也，共一率内之半径又主除之，乘除相
    报，半径又宜省。故径以甲乙为一率，丁角正弦为二率，乙丁为三率，求得四率，
    为甲角正弦。

        二曰对角求对边，以所知角正弦为一率，对边为二率，所知又一角正弦为三率，
    求得四率，为所不知对边。此其理具对边求对角，反观自明。

        三曰两边夹一角求不知之二角，以所知角旁两边相加为一率，相减馀为二率，
    所知角与半周相减，馀为外角，半之，取其正切为三率，求得四率，为半较角正切。
    对表得度，与半外角相加，为对所知角旁略大边之角；相减，馀为对所知角旁略小
    边之角。此其理一在平三角形。三角相并，必共成半周。如图甲乙丙形，中垂线甲
    丁，分为两正角形。正角为长方之半，长方四角皆正九十度，正角形两锐角斜剖长
    方，此角过九十度之半几何，彼角不足九十度之半亦几何，一线径过，其势然也。
    故甲右边分角必与乙角合为九十度，甲左边分角必与丙角合为九十度。论正角形各
    加丁角，皆成半周，合为锐角形。除去丁角，三角合亦自为半周。故既知一角之外，
    其馀二角虽不知各得几何度分，必知其共得此角减半周之馀也。一在三角同式形比
    例。如图丙庚戊形，知丙庚、丙戊两边及丙角。展丙庚为丙甲，连丙戊为甲戊，两
    边相加。截丙戊于丙丁，为戊丁，两边相减馀。作庚丁虚线，丙庚、丙丁同长，庚
    丁向圆内二角必同度，是皆为丙角之半外角，与甲辛、辛庚之度等。而庚向圆外之
    角，即本形庚角大于戊角之半，是为半外角。以庚丁为半径之比，则甲庚即为丁半
    外角正切之比。半径与正切恆为正角，甲庚与庚丁圆内作两通弦，亦无不成正角故
    也。又作丁己线，与甲庚平行，庚丁仍为半径之比，丁己又为庚向圆外半较角正切
    之比。而戊甲庚大形与戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一线，甲庚、丁己又系平行，
    自然同式。故甲戊两边相加为一率，戊丁两边相减馀为二率，甲庚半外角正切为三
    率，求得四率，自当丁己半较角正切也。

        四曰两角夹一边求不知之一角，以所知两角相并，与半周相减，馀即得。此其
    理具两边夹一角。

        五曰三边求角，以大边为底，中、小二边相并相减，两数相乘，大边除之，得
    数与大边相加折半为分底大边，相减馀折半为分底小边。乃以中边为一率，分底大
    边为二率，半径为三率，求得四率，为对小边角馀弦。或以小边为一率，分底小边
    为二率，半径为三率，求得四率，为对中边角馀弦。此其理在勾股弦冪相求及两方
    冪相较。如图甲丙中边、甲乙小边皆为弦，乙丙大边由丁分之，丁丙、丁乙皆为勾，
    中垂线甲丁为股。勾股冪相并恆为弦冪，今甲丁股既两形所同，则甲丙大弦冪多于
    甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多于乙丁小勾冪。又两方冪相较，恆如两方根和较相
    乘之数。如图戊寅壬庚为大方冪，减去己卯辛庚小方冪，馀戊己卯辛壬寅曲矩形。
    移卯癸壬辛为癸寅丑子，成一直方形，其长戊丑，自为大方根戊寅、小方根卯辛之
    和；其阔戊己，自为大方根戊庚、小方根己庚之较。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加
    为和，相减为较。两数相乘，即如丙丁、丁乙和较相乘之数。丙乙除之，自得其较。
    丙午相加相减各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙甲、乙甲为半径
    之比，丙丁、乙丁自为馀弦之比矣。

        此五术者，有四不待算，一不可算。对边求对角，令所知两边相等，则所求角
    与所知角必相等。对角求对边，令所知两角相等，则所求边与所知边必相等。两边
    夹一角，令所知两边相等，则所求二角必正得所知外角之半。三边求角，令二边相
    等，即分不等者之半为底边；三边相等，即平分半周三角皆六十度，皆不待算也。
    若对边求对角，所知一边数少，对所知一角锐；又所知一边数多，求所对之角，不
    能知其为锐、为钝，是不可算也。诸题求边角未尽者，互按得之。

        弧三角形者，三圆周相遇而成，其边亦以度计。九十度为足，少于九十度为小，
    过九十度为大。其角锐、钝、正与平三角等。算术有七：

        一曰对边求对角，以所知边正弦为一率，对角正弦为二率，所知又一边正弦为
    三率，求得四率，为所求对角正弦。此其理亦系两次比例省为一次。如图甲乙丙形，
    知甲乙、丙乙二边及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半径与丙角正弦之比，同于乙丙
    正弦与乙辛正弦之比。法当以半径为一率，丙角正弦为二率，乙丙正弦为三率，求
    得四率，为乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦与乙辛正弦之比，同于半径与甲角
    正弦之比。乃以甲乙正弦为一率，乙辛正弦为二率，半径为三率，求得四率，为甲
    角正弦。然乘除相报，可省省之。

        二曰对角求对边，以所知角正弦为一率，对边正弦为二率，所知又一角正弦为
    三率，求得四率，为所求对边正弦。此其理反观自明。

        三曰两边夹一角，或锐或钝，求不知之一边。以半径为一率，所知角馀弦为二
    率，任以所知一边正切为三率，求得四率，命为正切。对表得度，与所知又一边相
    减，馀为分边。乃以前得度馀弦为一率，先用边馀弦为二率，分边馀弦为三率，求
    得四率，为不知之边馀弦。原角钝，分边大，此边小；分边小，此边大。原角锐，
    分边小，此边小；分边大，此边大。此其理系三次比例省为二次。如图甲丙丁形，
    知甲丙、甲丁二边及甲角，中作垂弧丙乙，半径与甲角馀弦之比，同于甲丙正切与
    甲乙正切之比。先一算为易明。既分甲丁于乙，而得丁乙分边，甲乙馀弦与半径之
    比，同于甲丙馀弦与丙乙馀弦之比。法当先以甲乙馀弦为一率，半径为二率，甲丙
    馀弦为三率，求得四率，为丙乙馀弦。既得丙乙馀弦，半径与乙丁馀弦之比，同于
    丙乙馀弦与丁丙馀弦之比。乃以半径为一率，乙丁馀弦为二率，丙乙馀弦为三率，
    求得四率，为丁丙馀弦。然而乘除相报，故从省。两边夹一角若正，则径以所知两
    边馀弦相乘半径除之，即得不知边之馀弦，理自明也。所知两边俱大俱小，此边小；
    所知两边一小一大，此边大。

        四曰两角夹一边，求不知之一角。以角为边，以边为角，反求之；得度，反取
    之；求、取皆与半周相减。

        五曰所知两边对所知两角，或锐、或钝，求不知之边角。以半径为一率，任以
    所知一角之馀弦为二率，对所知又一角之边正切为三率，求得四率，命为正切，对
    表得度。复以所知又一角、一边如法求之，复得度。视原所知两角锐、钝相同，则
    两得度相加；不同，则两得度相减；皆加减为不知之边。乃按第一术对边求对角，
    即得不知之角。原又一角钝，对先用角之边大于后得度，此角钝；对先用角之边小
    于后得度，此角锐。原又一角锐，对先用角之边小于后得度，此角钝；对先用角之
    边大于后得度，此角锐。此其理系垂弧在形内与在形外之不同，及角分锐钝，边殊
    大小，前后左右俯仰向背之相应。如图甲乙丙形，甲乙二角俱锐，两锐相向，故垂
    弧丙丁，从中取正，而在形内。己丙庚形，己庚二角俱钝，两钝相向，故垂弧戊丙
    亦在形内。庚丙乙形，庚乙两角，一锐一钝相违，垂弧丙丁，从外补正，自在形外。
    在形内者判底边为二，两得分边之度，如乙丁、丁甲，合而成一底边如乙甲，故宜
    相加。在形外者，引底边之馀，两得分边之度，如庚丁、乙丁，重而不揜，底边如
    庚乙，故宜相减。锐钝大小之相应，亦如右图审之。所知两边对所知两角有一正，
    则一得度即为不知之边，理亦自明。

        六曰三边求角，以所求角旁两边正弦相乘为一率，半径自乘为二率，两边相减
    馀为较弧，取其正矢与对边之正矢相减馀为三率，求得四率，为所求角正矢。此其
    理在两次比例省为一次。如图甲壬乙形，求甲角，其正矢为丑丁。法当以甲乙边正
    弦乙丙为一率，半径乙己为二率，两边较弧正矢乙癸与对边正矢乙卯相减馀癸卯同
    辛子为三率，求得四率为壬辛。乃以甲壬边正弦戊辛为一率，壬辛为二率，半径己
    丁为三率，求得四率为丑丁。甲角正矢亦以乘除相报，故从省焉。

        七曰三角或锐、或钝求边，以角为边，反求其角；既得角，复取为边；求、取
    皆与半周相减。此其理在次形，如图甲乙丙形，甲角之度为丁戊，与半周相减为戊
    己，其度必同于次形子辛午之子辛边，盖丑卯为乙之角度丑点之交，甲乙弧必为正
    角，丁戊为甲之角度戊点之交，甲乙弧亦必为正角。以一甲乙而交丑辛、戊辛二弧
    皆成正角，则二弧必皆九十度，弧三角之势如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，
    去相覆之戊子，己戊自同子辛，于是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。
    而此形之馀角既皆为彼形之边，彼形馀角不得不为此形之边，故反取之而得焉。若
    三角有一正，除正角外，以一角之正弦为一率，又一角之馀弦为二率，半径为三率，
    求得四率，为对又一角之边馀弦。此其理亦系次形，而以正角及一角为次形之角，
    以又一角加减象限为次形对角之边，取象稍异。

        凡兹七术，惟边角相求，有锐钝、大小不能定者，然推步无其题，不备列。此
    七题中求边角有未尽者，互按得之。

        橢圆形者，两端径长、两腰径短之圆面。然必其应规，乃可推算。作之之术，
    任以两点各为心，一点为界，各用一针钉之，围以丝线，末以铅笔代为界之。针引
    而旋转，即成橢圆形。如图甲己午三点，如法作之，为丑午巳未橢圆，寅丑、寅巳
    为大半径，寅午、寅未为小半径，寅甲为两心差，己甲为倍两心差。甲午数如寅巳，
    亦同寅丑，己午如之；二数相和，恆与丑巳同。令午针引至申，甲申、申己长短虽
    殊，共数不易。甲午同大半径之数如弦，两心差如勾，小半径如股，但知两数，即
    可以勾股术得不知之一数。若求面积，以平方面率四００００００００为一率，平
    圆面率三一四一五九二六五为二率，大小径相乘成长方面为三率，求得四率为橢圆
    面积。若求中率半径，大小半径相乘，平方开之即得。然自甲心出线，离丑右旋，
    如图至戌，甲丑、甲戌之间，有所割之面积，亦有所当之角度。

        角积相求，爰有四术：

        一曰以角求积，以半径为一率，所知角度正弦为二率，倍两心差为三率，求得
    四率为倍两心差之端，垂线如己酉。又以半径为一率，所知角度馀弦为二率，倍两
    心差为三率，求得四率为界度积线，引出之线如甲酉，倍两心差之端垂线为勾自乘。
    以引出之线，与甲戌、己戌和如巳丑大径者相加为股弦和，除之得较。和、较相加
    折半为己戌弦，与大径相减为甲戌线。又以半径为一率，所知角正弦为二率，甲戌
    线为三率，求得四率为戌亥边。又以小径为一率，大径为二率，戌亥边为三率，求
    得四率为辰亥边。又以大半径寅辰同寅丑为一率，半径为二率，辰亥边为三率，求
    得四率为正弦，对表得度。又以半周天一百八十度化秒为一率，半圆周三一四一五
    九二六为二率，所得度化秒为三率，求得四率为比例弧线。又以半径为一率，大半
    径为二率，比例弧线为三率，求得四率为辰丑弧线，与大半径相乘折半，为寅辰丑
    分平圆面积。又以大半径为一率，小半径为二率，分平圆面积为三率，求得四率为
    寅戌丑分橢圆面积。乃以寅甲两心差与戌亥边相乘折半，与寅戌丑相减，为甲戌、
    甲丑之间所割面积。此其理具本图及平三角、弧三角，其法至密。

        二曰以积求角，以两心差减大半径馀得甲丑线自乘为一率，中率半径自乘为二
    率，甲戌、甲丑之间面积为三率，求得四率为中率面积，如甲氐亢。分橢圆面积为
    三百六十度，取一度之面积为法除之，即得甲戌、甲丑之间所夹角度，此其理为同
    式形比例。然甲亢与甲氐同长，甲戌则长于甲丑，以所差不多，借为同数。若引戌
    至心，甲丑甲心所差实多，仍须用前法求甲戌线，借甲戌甲心相近为同数求之。

        三曰借积求积，以所知面积，如图之辛甲丑，用一度之面积为法除之，得面积
    之度。设其度为角度，于倍两心差之端如庚己丑。以半径为一率，己角正弦为二率，
    倍两心差为三率，求得四率为甲子垂线。又以半径为一率，己角馀弦为二率，倍两
    心差为三率，求得四率为己子分边。甲子为勾自乘，己子与大径相减馀为股弦和，
    除之得股弦较。和、较相加折半得甲庚线。又以甲庚线为一率，甲子垂线为二率，
    半径为三率，求得四率为庚角正弦，得度与己角相加为庚甲丑角。乃用以角求积法，
    求得庚甲丑面积，与辛甲丑面积相减馀如庚甲辛，又用以积求角法，求得度，与庚
    甲丑角相加，即得辛甲丑角。

        四曰借角求角，以所知面积如前法取为积度，如丑甲丁。设其度为角度，于橢
    圆心如丁乙辛。以小半径为一率，大半径为二率，所设角度正切为三率，求得四率
    为丁乙癸角正切。对表得度，乃于倍两心差之端丙作丙丑线，即命丑丙甲角如癸乙
    丁之角度，乃将丙丑线引长至寅，使丑寅与甲丑等，则丙寅同大径。又作甲寅线，
    成甲寅丙三角形，用切线分外角法求得寅角，倍之为甲丙丑形之丑角，与丙角相加
    为丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多于丑甲丁积度，为子乙癸角度。即以此度当前之
    补算辛甲庚者，盖所差无多也。

        此四术内凡单言半径者，皆八线表一千万之数。图形尚无资料

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